Restitution Organisée de Connaissances ROC

BONJOUR

Pouvez vous m'aider SVP sur ce ROC :

Dans cet exercice la fonction exponentielle n'est pas sûpposée connue.

Soit f une fonction dérivable et non identiquement nulle sur IR, telle que

f(x+y)=f(x).f(y) pour tout x et y réel.

1) Montrer que f ne s'annule pas et que f(x)>0 pout tout x

2) Montrer que f(0)=1 et que si k=f'(0) , on a f'=k.f

MERCI

Salam,

Je vous donne quelques indices et vous laisse continuer..

1-1 Par l'absurde.
Tu suppose que f(Xo) = 0,
Tu prends un X quelconque de R, f(X) = f(X -Xo + Xo) = ...
Qu'est ce qu'on peut dire?
N'oublies pas de lire les hypothèses de l'exercice

1-2 Toujours par l'absurde.
La méthode que j'ai trouvée consiste à montrer d'abord que f(0) = 1 dans cette question (facile)

Ensuite je prends un Xo différent de 0 et je suppose que f(Xo) < 0 ..
J'appliques le théorème des valeurs intermédiaires entre Xo et 0..
Quelle contradiction à votre avis?

2-1 f(0) =1, déjà montrée dans la question 1-2
2-2 Dans la relatin f(x+y) = f(x).f(y) ,
Je suppose d'abord x constant et je dérive par rapport à y, ce qui donne ..
Je suppose y constant et je dérive par rapport à x, ce qui donne ...

Je prends en particulier y=0... ça me donne..
f'(x) = f'(0)f(x)

CQFD

Salam


Noureddine ::

Ta façon de répondre me plait .Tu guide san tout donner...j'espére que ça soit ainsi toujours dans ce forum.Merci à toi !


QUESTION
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si on fait seuelement l'hypothése f est CONTINUE non nulle sur IR ;peut on démontrer que f est alors dérivable et faire la même conclusion ?


On remarque qu'il suffit que f soit nulle en un point pour qu'elle soit identiquement nulle.
en effet si f(a)=0 pour un certain réel a , alors pour tout x réel :

f(x)=f((x-a)+a)=f(x-a) f(a) =0