exercice2:

comparez les deux nombres a et b
a= 1989(1+2+3+.....+1988)
b=1988(1+2+3+......+1989)

a-b = 1989(1+2+3.....+1988) - 1988(1+2+3....+1989)
= 1989(1+2+3.....+1988) - 1988(1+2+3......+1988+1)
= 1989(1+2+3.......+1988)- 1988(1+2+3......+1988)-1988
= (1+2+3.....+1988)(1989-1988)-1988
= (1+2+3.....+1988)-1988
= 1+2+3.....+1987>0
donc a>b
c'est juste???????

Bonsoir


C'est un bon essai mais LA DEUXIEME LIGNE EST FAUSSE :


il faut ecrire :

a-b= 1989(1+2+3.....+1988) - 1988(1+2+3......+1988+1988+1)



la suite :

a-b=(1+2...+1988)-1988.1989

=(1+2....+1988)-(1989+...1989) (le second terme 1988 fois)

=(1-1989)+(2-1989)+...+(1988-1989) <0
(remarquons que a-b=-(1988+1987+...+1) =-(1+...+1988) )

si tu fais b-a tu trouves :

1+....+1988 >0



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on va généraliser cette question

Soit n un entier non nul

Comparer :


a=(n+1)(1+...+n)

et

b=n(1+...+n+(n+1))


Pour ceux qui connaissent la formule (qui se démontre par recurrence (si tu es en 1ere bac ou plus))

on a :
1+...+n=n(n+1)/2

ce qui donne :


a=(n+1)n(n+1)/2 et b= n(n+1)(n+2)/2

donc


b-a = n(n+1)/2 ((n+2)-(n+1))=n(n+1)/2

donc b>a

en particulier pour n=1988 on retrouve ce qu on a ci-dessus.




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Pour ceux qui ne connaissent pas la récurrence (Tronc commun par exemple..)


on a :


b-a = n(1+...+n+(n+1))-(n+1)(1+...+n)

=n(1+...+n)+n(n+1)-(n+1)(1+...+n)

=(1+...+n)(n-(n+1))+n(n+1)

=n(n+1)-(1+...+n)

=(n+1)+(n+1)+...+(n+1) - (1+2+...+n)

c est une difference ayant deux termes ayant chacun n termes...

donc

b-a=((n+1)-1)+((n+1)-2)+...+((n+1)-n))

=n+(n-1)+....+2+1 > 0

donc b>a



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j'espère que c'est compris

si c est pas le cas le signaler et préciser votre niveau s il vous plaît !!

merci beaucoup cher mohamed

soit n appartenant à N
on pose S= 1+2+3...............+n
on aussi S=(n+1)_1+(n+1)-2.................+(n+1)-n
car (n+1)-1=n et...........et (n+1)-n=1
on fait la somme alors
2S=(n+1)+(n+1).................+(n+1) (n fois)
d'où 2S=n(n+1) donc S= n(n+1)/2
revenant à l'exercice on donc
1+2+3........+1988=1988.1989/2
et 1+2+3.........+1989=1989.1990/2
donc a=1989.1989.1888/2
et b=1990.1989.1988/2
doc a/b=1989/1990<1 donc a<b

généralment :
si ona a= n(1+2+.................+n+(n+1))
et b=(n+1)(1+2+..................+n)

on a=n(n+1)^2/2 et b=n(n+1)(n+2)/2
d'où a/b= (n+1)/(n+2)<1 donc a<b

on pe repondre a cet question sans faire entrer les suites: on a 1989(1+2+....+1988)=1988(1+2+....+1988)+(1+2+.....+1987+1988)
=1988(1+2+....+(1+1988))+(1+2+...+1987)
=1988(1+2+....+1989)+(1+2+....+1987)plus grand ke 1988(1+2+...+1989)