Besoin d'aide Mr Le professeur !

Chér Professeur,

f(x)=x/x²+x+1

Montrez que f est limitée sur IR !

Et Mci

Bonsoir:


il y a plusieurs méthodes pour démontrer que f est bornée (la bonne traduction c'est bornée et pas limitée...)


par exemple :


pour tout x non nul , on a:

|1/(fx)|=|x+1+(1/x)| >ou= |x+(1/x)|-1 >= 2-1=1 (1)

(en effet ,ici, il y a deux choses qu'on appliquées:

|a-b| >ou = ||a|-|b|| pour tous a et b réels ....connue (dans le cours , mais je te demande de la redémontrer ...)

ici a=x+(1/x) et b=-1


la deuxiéme chose est :

pour tout x réel |x+(1/x)| >= 2

en effet ;elle equivaut à :

x²+1 >ou= 2|x| <=> |x|²-2 |x| +1 >ou= 0 <=> (|x|-1)² >ou= 0 ; chose vrai ..)


Revenons à l'inégalité (1) ci-dessus :

elle implique :


|f(x)| <ou= 1 pour tout x réel non nul

or f(0)=0

donc on a |f(x)| <ou= 1 pour tou x reél.

Ainsi f est bornée .....

Dsl Mr Mais je me suis trompé

f(x)=x/(x²+x+1)

ps:Oublié les parenthése dsl Mr

Bonjour:


c est bien la fonction que j'ai considéré :

tu ne vois pas que si f(x)=x/(x²+x+1) alors :

1/(f(x) = 1+x +(1/x) ?


alors essaye de voir ça et lis la suite de la méthode que j'ai donnée !!!

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une deuxiéme méthode :


elle consiste à démontrer directement que :


pour tout x réel on a

(1) |f(x)| <= 1



en effet


(1) <=> -1 <= f(x) <= 1 ( <= c est inferieur ou egal)


<=> -x²-x-1 <= x <= x²+x+1 (car x²+x+1>0)



<=> x²+2x+1 >=0 et x²+1 >=0



or la derniére proposition est vraie

donc par le principe des équivalences successives (1) est vraie ....





eu revoir et essaye de bien lire !!!!