tu peux me aider"une demonstration"

a<x<b telque:

f(x)>g(x)

montrer qu'il y a un nombre positif k telque:

f(x)>g(x)+k

SVP vite

Bonsoir :

C'est mal formulée comme question
Essaye au moins de donner un ennocé correct si tu veux des réponses immédiates...
Bonne reussite !!

Bonjour :
Tu as : x £ ]a,b[
Bon , je suppose que f est g sont continues sur ]a,b [ : chose que tu n'a pas dit ...
Alors , on pose une autre fonction h(x)=f(x)-g(x)
h seari continue et majorée sur ]a,b[
m < h < M || m = inf(]a,b[) // M=sup(]a,b[) ||
m < f(x)-g(x) < M
g(x)+ m < f(x) < g(x) + M
N.B : Le prof peurrait nous aider a savoir s'il s'agit de sup/inf ou min/max ^^
____
Bon il faut donner plus d'info sur x ou ]a,b[ , je sais po moi ; mais je t'ai seulement donné un clein d'oeil !
Peut etre la majoration/minoration te servira dans ton exo !
Salut .

Bonjour !!!

Je suis désolé que yassinestare2010 n'aie pas revenu donner l'énnoncé correct....


Praceque Phoenix a intervenu je donne l'énnoncé correct de cet exo ....


EXO
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soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a,b] .
demontrer que si f>g alors il existe une constante k>0 tel que f>g+k

REP
==

f et g etant continues sur [a,b] , il en est de même de f-g.
D'aprés le cours on a ; f-g([a,b])=[m,M] avec
m=min(f(x)-g(x))_{x€[a,b]} et m=max(f(x)-g(x))_{x€[a,b]}

m posséde un antécédant u par f-g donc m=(f-g)(u)>0 car par hypothése f-g >0 sur [a,b].


pour tout x de [a,b] on a (f-g)(x) >= m > m/2

on prends alors k=m/2 et on a bien f-g >k.


COMMENTAIRE
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si on connait seulement que f est continue sur ]a,b[ ouvert on n a pas le droir d'ecrire sup (f) ou inf(f) sur ]a,b[


exemple:

f(x)=1/x continue sur ]0,1[ n'a pas de sup .....



exemple f(x)=tan(x)

continue sur ]-pi/2,pi/2[ n a ni inf ni sup.......etc.....


si cependant f est continue sur [a,b] alors sup et inf de f sur ]a,b[ existent.....


(non dificile à demontrer....)

SUP MAX
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l'appelation de Sup est destinée à ce que l'on appelle la borne supérieure qui ne figureplus aux programmes actuels (malheureusement).....




Soit A une partie non vide de IR
on dit qu'un réel M est un majorant de A si
pour tout s de A x <=M

si A admet un majorant on dit que A est majorée.


Si A est mejorée le plus petit majorant de A s il existe s'apelle borne superieure de A et noté sup(A)


Ainsi u=sup(A) <=> Pour tout x de A x<= u et pour tout majorant M de A on a u<=M


<=> Pour tout x de A x<= u et Pour tout epsilon>0 il existe a de A tel que :

a> u- epsilon


cette derniére exprime que dés qu'on retranche un reél >0 à u le resultat n'est plus un majorant .......



en général Sup(A) n appartient pas à A ( exemple A=]5,7[ )
mais des fois il appartient ...


si Sup(A) € A on dit que Sup(A) est l'élément maximal de A et on le note Max(A).


exemple A=[1,5]